INFZ21, logiques du raisonnement valide

Le but de la logique est de calculer des conclusions sûres. Le langage naturel s'avère trop imprécis et riche pour permettre des développements simples et rigoureux.

La logique est un outil pour parler et raisonner dans un domaine déterminé. Différents domaines ont différentes logiques. C'est un problème à la fois philosophique et mathématique que de savoir si une logique donnée est adéquate pour un domaine particulier.

Les logiques classiques (la logique des propositions et la logique des prédicats) ont été créées pour raisonner sur des objets mathématiques. Comme ces objets sont conceptuellement assez simples, ces logiques le sont aussi. Tout comme en mathématiques, les systèmes déductifs de la logique classique se limitent à la formalisation du raisonnement valide.

Un système formel de déduction de la logique classique est composé d'un ensemble de schémas d'axiomes et de règles d'inférence. Un tel système permet d'inférer des conclusions à partir de prémisses et définit donc une relation de déduction entre formules, notée ⊢.

Cette relation possède les propriétés suivantes :

  • propriété de réflexivité : {p1…, pn,q} ⊢ q ;
  • propriété de monotonie : si {p1,…, pn} ⊢ q alors {p1,…, pn,r} ⊢ q ;
  • propriété de transitivité : si {p1,…, pn} ⊢ r et {p1,…, pn,r} ⊢ q alors {p1,…, pn} ⊢ q.

Dans les expressions ci-dessus, p1…, pn,q et r désignent des formules du langage logique considéré. Ces propriétés fondamentales traduisent formellement certaines exigences du raisonnement valide :

  • inférer une conclusion identique à l'une des prémisses est une opération valide ;
  • un résultat acquis n'est pas remis en cause par des résultats ultérieurs ;
  • des résultats intermédiaires peuvent être utilisés pour établir la validité d'une conclusion.

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